Không gian triebel lizorkin morrey là gì? Các nghiên cứu

Định nghĩa không gian Triebel–Lizorkin–Morrey

Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey ký hiệu thường là $E^{s}_{u,p,q}(\mathbb{R}^n)$ hoặc tương đương, là không gian hàm bao gồm các phân phối hoặc hàm có trơn theo chỉ số $s\in\mathbb{R}$, với các tham số $0<p\le u<\infty$, $0<q\le\infty$. Đặc trưng của không gian này là sự kết hợp giữa điều kiện trơn (smoothness) và kiểm soát phân bố năng lượng của hàm qua không gian Morrey để xem xét tính cục bộ và toàn cục.

Hàm $f$ nằm trong $E^{s}_{u,p,q}(\mathbb{R}^n)$ nếu chuẩn sau đây hữu hạn:

$\|f\|_{E^{s}_{u,p,q}} = \|\phi_0(D)f\|_{M^p_u} + \left\| \left( \sum_{j=1}^\infty 2^{jsq} |\phi_j(D)f(x)|^q \right)^{1/q} \right\|_{M^p_u} < \infty$

Trong đó $M^p_u$ là không gian Morrey, $\phi_j(D)$ là toán tử lọc tần số cao qua phân hoạch đơn vị (Littlewood–Paley decomposition). Cách định nghĩa này được khảo sát kỹ trong các bài báo như của Hakim, Nogayama & Sawano (2017) về nội hàm phức của các subspaces của Morrey trơn. :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Các không gian liên quan: Sobolev, Triebel–Lizorkin cổ điển, Morrey

Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey mở rộng các không gian truyền thống như Sobolev $W^{s,p}(\mathbb{R}^n)$ và Triebel–Lizorkin cổ điển $F^{s}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ bằng cách thay $L^p$ hoặc $L^p\!\!-\!\!L^q$ bằng không gian Morrey $M^p_u$ để kiểm soát phân bố hàm theo vùng địa phương.

Không gian Morrey $M^p_u(\mathbb{R}^n)$ định nghĩa qua chuẩn:

$\|f\|_{M^p_u} := \sup_{x\in\mathbb{R}^n,\,r>0} r^{-n\left(\frac1p - \frac1u\right)} \left( \int_{B(x,r)} |f(y)|^p \, dy \right)^{1/p} < \infty$

Bảng so sánh đặc điểm giữa các không gian:

Không gian	Trơn (smoothness)	Kiểm soát cục bộ	Ứng dụng điển hình
Sobolev $W^{s,p}$	Bằng chỉ số $s$	Không có điều kiện Morrey	Phương trình PDE với hệ số liên tục, biên có điều kiện tốt
Triebel–Lizorkin $F^s_{p,q}$	Trơn thực phân, đo bằng phân rã tần số	Có qua $L^p$, kiểm soát toàn cục qua Lebesgue	Phân tích fourier, xấp xỉ hàm, biến đổi phi tuyến
Morrey $M^p_u$	Không có chỉ số trơn (hoặc trơn = 0)	Kiểm soát cục bộ theo bán kính bóng	Ứng dụng trong lý thuyết hàm có điểm không đều, PDE có hệ số phân bố mạnh
Triebel–Lizorkin–Morrey $E^s_{u,p,q}$	Chỉ số $s$	Kiểm soát Morrey + phân rã tần số	PDE phi tuyến trong môi trường không đều, phân tích hàm vùng biên, hình dạng fractal

Định nghĩa thông qua hệ phân hoạch đơn vị & đặc trưng Littlewood–Paley

Để xây dựng chuẩn cho $E^s_{u,p,q}\!$ cần chọn một hệ hàm lọc $\{\phi_j\}_{j=0}^\infty$ sao cho hỗ trợ tần số được chia đều theo cấp độ dyadic, nghĩa là mỗi $\phi_j\!$ tập trung vào dải tần khoảng $2^j \le |\xi| < 2^{j+1}$.

Biến đổi Fourier được sử dụng để định nghĩa $\phi_j(D)f = \mathcal{F}^{-1}(\phi_j \cdot \mathcal{F}(f))$ với $\mathcal{F}$ là biến đổi Fourier. Norm được định nghĩa như sau:

\|f\|_{E^{s}_{u,p,q}} = \|\phi_0(D)f\|_{M^p_u} + \left\| \left( \sum_{j=1}^\infty 2^{jsq} |\phi_j(D)f(\cdot)|^q \right)^{1/q} \right\|_{M^p_u} \end{script}

Chuẩn này độc lập (trong nhiều trường hợp) với sự chọn lựa chi tiết của hàm lọc, miễn là hệ phân hoạch đáp ứng điều kiện cơ bản về hỗ trợ (support) và tính “partition of unity” trong miền tần số. Trên miền toàn ℝⁿ, định nghĩa này được sử dụng rộng rãi trong các bài viết như “Complex interpolation of smoothness Morrey spaces” của Hakim, Nogayama & Sawano. :contentReference[oaicite:1]{index=1}

Ánh xạ và tính chất nhúng cơ bản

Ánh xạ nhúng (embedding) giữa các không gian Triebel–Lizorkin–Morrey giúp xác định khi nào hàm trong $E^{s}_{u,p,q}</span> cũng nằm trong không gian “ít trơn hơn” hoặc trong không gian Lebesgue/Morrey thông thường. Ví dụ, nếu <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mo>&gt;</mo><mi>n</mi><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>p</mi></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>r</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">s &gt; n\left(\frac1p - \frac1r\right)</annotation></semantics></math></span></span> và <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mi>u</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r &lt; u</annotation></semantics></math></span></span>, thì có ánh xạ nhúng:</p> <ul> <li><span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>E</mi><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo separator="true">,</mo><mi>q</mi></mrow><mi>s</mi></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>↪</mo><msubsup><mi>M</mi><mi>u</mi><mi>r</mi></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E^{s}_{u,p,q}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow M^r_u(\mathbb{R}^n)</annotation></semantics></math></span></span></li> <li><span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>E</mi><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo separator="true">,</mo><mi>q</mi></mrow><mi>s</mi></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>↪</mo><msup><mi>L</mi><mi>r</mi></msup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E^{s}_{u,p,q}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^r(\mathbb{R}^n)</annotation></semantics></math></span></span> nếu <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>u</mi><mo>=</mo><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u = r</annotation></semantics></math></span></span></li> </ul> <p>Tính chất nhúng Sobolev‑Morrey, Besov‑Morrey cũng được dùng để so sánh và tính các bất đẳng thức chuẩn hóa trong phân tích hàm. Những định lý nhúng này xuất hiện trong các bài báo chuyên ngành như của Sawano &amp; Tanaka. :contentReference[oaicite:2]{index=2}</p> <h2>Ứng dụng trong phân tích đạo hàm riêng và bài toán biên</h2> <p>Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey đặc biệt hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc có điều kiện biên không trơn. Việc sử dụng không gian này cho phép mô tả chính xác mức độ trơn và tính cục bộ của nghiệm trong trường hợp dữ liệu ban đầu không nằm trong không gian Lebesgue truyền thống.</p> <p>Các ứng dụng chính bao gồm:</p> <ul> <li>Phân tích tồn tại và trơn hóa nghiệm yếu cho phương trình Navier–Stokes trong môi trường có dữ liệu khuyết tật địa phương</li> <li>Phương trình Schrödinger phi tuyến với điều kiện ban đầu không trơn</li> <li>Giải các hệ PDE suy biến hoặc phi tuyến bậc cao</li> </ul> <p>Trong các bài toán biên với dữ liệu nằm trên fractal hoặc miền không đều, các định lý nhúng cổ điển không áp dụng được, trong khi không gian Triebel–Lizorkin–Morrey vẫn cho phép kiểm soát đạo hàm một cách tinh vi, nhờ vào tính chất phân rã tần số kết hợp với kiểm soát cục bộ.</p> <h2>Biểu diễn qua sóng nhỏ (Wavelet representation)</h2> <p>Do có nền tảng từ phân rã Littlewood–Paley, các không gian Triebel–Lizorkin–Morrey có thể được biểu diễn qua hệ sóng nhỏ (wavelet basis) một cách chính xác. Biểu diễn này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có giá trị thực tế trong tính toán số và xử lý tín hiệu.</p> <p>Một hàm <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>∈</mo><msubsup><mi>E</mi><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo separator="true">,</mo><mi>q</mi></mrow><mi>s</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f \in E^s_{u,p,q}</annotation></semantics></math></span></span> có thể biểu diễn như sau:</p> <p><span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mo>∑</mo><mi>λ</mi></msub><msub><mi>c</mi><mi>λ</mi></msub><msub><mi>ψ</mi><mi>λ</mi></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> f(x) = \sum_{\lambda} c_\lambda \psi_\lambda(x) </annotation></semantics></math></span></span></p> <p>Trong đó <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ψ</mi><mi>λ</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\psi_\lambda</annotation></semantics></math></span></span> là các sóng nhỏ chính quy, <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mi>λ</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_\lambda</annotation></semantics></math></span></span> là hệ số tương ứng với mức tần số và vị trí, và chuẩn <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∥</mi><mi>f</mi><msub><mi mathvariant="normal">∥</mi><msubsup><mi>E</mi><mrow><mi>u</mi><mo separator="true">,</mo><mi>p</mi><mo separator="true">,</mo><mi>q</mi></mrow><mi>s</mi></msubsup></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\|f\|_{E^s_{u,p,q}}</annotation></semantics></math></span></span> được đánh giá qua sự phân rã của các hệ số <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>c</mi><mi>λ</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">c_\lambda</annotation></semantics></math></span></span> trong không gian Morrey.</p> <p>Theo Meyer (1992), hệ sóng nhỏ như Daubechies hoặc spline orthogonal có thể được dùng để xây dựng cơ sở đầy đủ cho các không gian này. Tham khảo chi tiết tại <a href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0649-3" target="_blank">Wavelets and Operators – Springer</a>.</p> <h2>Biến thể và mở rộng</h2> <p>Gần đây, một số nghiên cứu đã mở rộng không gian Triebel–Lizorkin–Morrey sang các thiết lập tổng quát hơn như:</p> <ul> <li><b>Không gian biến thiên số mũ (variable exponent):</b> <span class="inline-equation"><span class="katex"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mi>E</mi><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo separator="true">,</mo><mi>q</mi><mo separator="true">,</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi>s</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">E^s_{p(\cdot),q,u(\cdot)}</annotation></semantics></math></span></span> cho phép tham số thay đổi theo vị trí</li> <li><b>Không gian dạng Campanato tổng quát:</b> mở rộng tính cục bộ cao hơn Morrey</li> <li><b>Không gian trên đa tạp (manifold) hoặc không gian đo không đều:</b> sử dụng khái niệm metric measure space và kernel tích phân</li> </ul> <p>Đặc biệt, lớp không gian Hardy–Morrey được phát triển để nghiên cứu các PDE loại elliptic trong môi trường phân bố năng lượng bất thường. Những phát triển này góp phần mở rộng phạm vi ứng dụng ra ngoài miền Euclid cổ điển.</p> <h2>Tính toán số và xử lý tín hiệu</h2> <p>Trong kỹ thuật số, đặc biệt là xử lý ảnh và biểu diễn dữ liệu nén, các cơ sở wavelet có tính chất tương thích với không gian Triebel–Lizorkin–Morrey được áp dụng để tạo ra các thuật toán tái thiết và nén giữ tính cục bộ cao, như trong các hệ thống nén fractal hoặc các mô hình mô phỏng đa tỉ lệ.</p> <p>Ưu điểm bao gồm:</p> <ul> <li>Đại diện dữ liệu theo cấp độ chi tiết</li> <li>Phân tích đa tỉ lệ với kiểm soát năng lượng cục bộ</li> <li>Hạn chế nhiễu cao tần tốt hơn so với dùng Fourier hoặc spline cổ điển</li> </ul> <p>Một số ứng dụng tiêu biểu:</p> <table border="1" cellpadding="6" cellspacing="0"> <tbody><tr> <th>Lĩnh vực</th> <th>Ứng dụng</th> </tr> <tr> <td>Xử lý ảnh</td> <td>Nén ảnh JPEG2000, tăng cường biên, lọc noise cục bộ</td> </tr> <tr> <td>Mô phỏng số</td> <td>Phân tích đa tỉ lệ FEM, phương pháp Galerkin phi tuyến</td> </tr> <tr> <td>Trí tuệ nhân tạo</td> <td>Biểu diễn đặc trưng học sâu cho dữ liệu không đều</td> </tr> </tbody></table> <h2>Hạn chế và hướng nghiên cứu hiện tại</h2> <p>Mặc dù mạnh mẽ, không gian Triebel–Lizorkin–Morrey vẫn gặp một số khó khăn:</p> <ul> <li>Chuẩn phức tạp, khó đánh giá số nếu không có biểu diễn sóng nhỏ</li> <li>Phụ thuộc vào hệ phân hoạch tần số, gây khó khăn khi chuyển sang miền biên cong hoặc fractal</li> <li>Chưa có lý thuyết đầy đủ cho mọi không gian tổng quát (ví dụ: biến thiên tham số theo vị trí, hoặc tích phân kernel phi chuẩn)</li> </ul> <p>Nghiên cứu hiện tại tập trung vào việc xây dựng các ánh xạ tuyến tính, toán tử đa tuyến trong không gian này, cũng như cải tiến kỹ thuật xấp xỉ và học máy trong các lĩnh vực vật lý toán, cơ học tính toán và xử lý dữ liệu phi cấu trúc.</p> <h2>Tài liệu tham khảo</h2> <ol> <li>Yamazaki, M. (1994). A quasi-homogeneous version of Triebel–Lizorkin spaces. <i>Functiones et Approximatio</i>, 22, 1–20.</li> <li>Haroske, D., &amp; Skrzypczak, L. (2014). Embeddings of function spaces: New developments. <i>Mathematische Nachrichten</i>, 287(13), 1518–1541.</li> <li>Triebel, H. (2006). <i>Theory of Function Spaces III</i>. Birkhäuser Basel. <a href="https://link.springer.com/book/10.1007/3-7643-6982-5" target="_blank">Springer Link</a></li> <li>Nakai, E., &amp; Sawano, Y. (2012). Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces. <i>J. Funct. Anal.</i>, 262(9), 3665–3748.</li> <li>Hakim, D., Nogayama, Y., &amp; Sawano, Y. (2017). Complex interpolation of smoothness Morrey spaces. <a href="https://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou61/_06_Sawano.pdf" target="_blank">Okayama University</a></li> <li>Meyer, Y. (1992). <i>Wavelets and Operators</i>. Cambridge University Press. <a href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0649-3" target="_blank">Springer</a></li> <li>Sawano, Y., Tanaka, H. (2012). A note on Besov–Morrey and Triebel–Lizorkin–Morrey spaces. <a href="https://www.researchgate.net/publication/225366489_A_note_on_Besov-Morrey_and_Triebel-Lizorkin-Morrey_spaces" target="_blank">ResearchGate</a></li> </ol> </div></div><div class="el-divider el-divider--horizontal" style="--el-border-style:solid;" role="separator"><!--v-if--></div><h2>Các bài báo, nghiên cứu, công bố khoa học về chủ đề không gian triebel lizorkin morrey:</h2><div><div><!--[--><div class="entity-item-container" data-v-d071913d><a href="/publication/KH%C3%94NG-GIAN-TRIEBEL-LIZORKIN-MORREY-LI%C3%8AN-K%E1%BA%BET-V%E1%BB%9AI-TO%C3%81N-T%E1%BB%AC-LI%C3%8AN-H%E1%BB%A2P-KH%C3%94NG-%C3%82M/079b73f0-9541-43ed-bd30-b82ad902ebd9" class="entity-title" data-v-d071913d><span data-v-d071913d>KHÔNG GIAN TRIEBEL-LIZORKIN-MORREY LIÊN KẾT VỚI TOÁN TỬ LIÊN HỢP KHÔNG ÂM</span><!----><!----></a><div class="publish-info" data-v-d071913d><span data-v-d071913d><span data-v-d071913d>Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh</span> - </span> Tập 18 Số 12 <span data-v-d071913d> - Trang 2111</span><span data-v-d071913d> - 2021</span></div><!----><div class="abstract-container" data-v-d071913d><div data-v-d071913d><div><span class="">Xét L là một toán tử liên hợp không âm trên  sao cho nhân nhiệt của Lthỏa mãn điều kiện bị chặn trên Gaussian. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu không gian Triebel-Lizorkin-Morrey  liên kết với toán tử , trong đó . Chúng tôi chứng minh rằng các không gian mới này thỏa mãn các đặc trưng quan trọng như đặc trưng liên tục theo các hàm bình phương hoặc đặc trưng phân tích nguyên tử.</span><!----></div><!----></div></div><div class="keyword-container" data-v-d071913d><!--[--><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style="" data-v-d071913d><span class="el-tag__content"><!--[--> #phân tích nguyên tử<!--]--></span><!--v-if--></span><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style="" data-v-d071913d><span class="el-tag__content"><!--[--> #đặc trưng liên tục<!--]--></span><!--v-if--></span><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style="" data-v-d071913d><span class="el-tag__content"><!--[--> #điều kiện bị chặn trên Gaussian<!--]--></span><!--v-if--></span><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style="" data-v-d071913d><span class="el-tag__content"><!--[--> #không gian Triebel-Lizorkin-Morrey<!--]--></span><!--v-if--></span><!--]--></div><div class="el-row" style="" data-v-d071913d data-v-5c117f8d><!--[--><div class="el-col el-col-24" style="" data-v-5c117f8d><!--[--><!--[--><span data-v-5c117f8d><!----></span><span data-v-5c117f8d><!----></span><span data-v-5c117f8d><!----></span><!--]--><!--]--></div><!--]--></div><div class="action-container" data-v-d071913d><!----><button ariadisabled="false" type="button" class="el-button el-button--primary el-button--small is-plain is-round" style="" data-v-d071913d><!--v-if--><span class=""><!--[--><a href="https://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos/article/view/3300" target="_blank" rel="nofollow noopener" data-v-d071913d><!--[--><span class="icon enabled" style="color:inherit !important;cursor:unset;" data-v-d071913d data-v-f4e97fe2><i class="fas fa-link" style="font-size:inherit;color:inherit !important;" data-v-f4e97fe2></i></span> Đi đến bài báo <!--]--></a><!--]--></span></button><button ariadisabled="false" type="button" class="el-button el-button--primary el-button--small is-text" style="" data-v-d071913d><!--v-if--><span class=""><!--[--><span class="icon enabled" style="color:inherit !important;cursor:unset;" data-v-d071913d data-v-f4e97fe2><i class="fas fa-quote-right" style="font-size:inherit;color:inherit !important;" data-v-f4e97fe2></i></span> Trích dẫn <!--]--></span></button><span class="save-button-container" data-v-d071913d data-v-c008b161><button ariadisabled="false" type="button" class="el-button el-button--primary el-button--small is-text" style="" data-v-c008b161><i class="el-icon" style=""><!--[--><!--[--><span class="icon enabled" style="color:inherit !important;cursor:unset;" data-v-c008b161 data-v-f4e97fe2><i class="fas fa-bookmark" style="font-size:inherit;color:inherit !important;" data-v-f4e97fe2></i></span><!--]--><!--]--></i><span class=""><!--[--> Lưu lại<!--]--></span></button></span><!--[--><!--]--></div></div><!--]--></div><div class="el-row is-justify-end" style="" data-v-fa649ea5><!--[--><div class="pagination-container" data-v-fa649ea5><span data-v-fa649ea5> Tổng số: 1</span>    <div class="el-pagination is-background" data-v-fa649ea5><button type="button" class="btn-prev is-first" disabled aria-label="Go to previous page" aria-disabled="true"><i class="el-icon" style=""><!--[--><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 1024 1024"><path fill="currentColor" d="M609.408 149.376 277.76 489.6a32 32 0 0 0 0 44.672l331.648 340.352a29.12 29.12 0 0 0 41.728 0 30.592 30.592 0 0 0 0-42.752L339.264 511.936l311.872-319.872a30.592 30.592 0 0 0 0-42.688 29.12 29.12 0 0 0-41.728 0z"></path></svg><!--]--></i></button><ul class="el-pager"><li class="is-active number" aria-current="true" aria-label="page 1" tabindex="0"> 1 </li><!--v-if--><!--[--><!--]--><!--v-if--><!--v-if--></ul><button type="button" class="btn-next is-last" disabled aria-label="Go to next page" aria-disabled="true"><i class="el-icon" style=""><!--[--><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 1024 1024"><path fill="currentColor" d="M340.864 149.312a30.592 30.592 0 0 0 0 42.752L652.736 512 340.864 831.872a30.592 30.592 0 0 0 0 42.752 29.12 29.12 0 0 0 41.728 0L714.24 534.336a32 32 0 0 0 0-44.672L382.592 149.376a29.12 29.12 0 0 0-41.728 0z"></path></svg><!--]--></i></button></div></div><!--]--></div><div></div></div><!--]--></div><div class="el-col el-col-24 el-col-xs-24 el-col-sm-24 el-col-md-7 is-guttered" style="padding-right:10px;padding-left:10px;"><!--[--><h2 class="underline-title">Chủ đề khác</h2><div class="post-page-container"><!--[--><div class="entity-item-container"><a href="/topic/điểm menke hyperbolic" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#điểm menke hyperbolic<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Điểm menke hyperbolic là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/prematurity" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#prematurity<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Prematurity là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/u hắc tố ác tính" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#u hắc tố ác tính<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>U hắc tố ác tính là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/đặc trưng nhiệt lý" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#đặc trưng nhiệt lý<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Đặc trưng nhiệt lý là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/nang thân răng" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#nang thân răng<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Nang thân răng là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/vi phân raman" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#vi phân raman<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Vi phân raman là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/abernethy malformation" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#abernethy malformation<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Abernethy malformation là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/sự xâm nhập của tế bào miễn dịch" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#sự xâm nhập của tế bào miễn dịch<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Sự xâm nhập của tế bào miễn dịch là gì? Các nghiên cứu</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/sản lượng trầm tích" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#sản lượng trầm tích<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Sản lượng trầm tích là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học</p></a></div><div class="entity-item-container"><a href="/topic/thiết bị schilling bunsen" class=""><span class="el-tag el-tag--primary el-tag--light" style=""><span class="el-tag__content"><!--[-->#thiết bị schilling bunsen<!--]--></span><!--v-if--></span><br><p>Thiết bị schilling bunsen là gì? Các nghiên cứu khoa học</p></a></div><!--]--><br><a href="/topic/browse" class="float-right"> Xem thêm <span class="icon enabled" style="color:inherit !important;cursor:unset;" data-v-f4e97fe2><i class="fas fa-angle-double-right" style="font-size:inherit;color:inherit !important;" data-v-f4e97fe2></i></span></a></div><!--]--></div><!--]--></div></div></div><!--]--><!--]--></div><!--]--></div><div class="footer-container container" data-v-448418ff data-v-3f34e5e0><div class="el-row is-justify-center" style="" type="flex" data-v-3f34e5e0><!--[--><div class="el-col el-col-24 el-col-xs-24 el-col-sm-24 el-col-md-22 el-col-lg-20" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><div class="el-row" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><h2 data-v-3f34e5e0>Scholar Hub - Công cụ hỗ trợ trích dẫn và phân tích khoa học Việt Nam</h2><!--]--></div><div class="el-row is-justify-space-evenly legal-container" style="" type="flex" data-v-3f34e5e0><!--[--><div class="el-col el-col-24 el-col-xs-24 el-col-md-24 app-intro-container" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><h3 data-v-3f34e5e0>Về chúng tôi</h3><p class="app-description" data-v-3f34e5e0> Scholar Hub là công cụ hỗ trợ trích dẫn và phân tích các bài báo, công bố khoa học Việt Nam. Công cụ trợ giúp người nghiên cứu, tạp chí, đơn vị nghiên cứu tra cứu, phân tích và thống kê dữ liệu nghiên cứu khoa học tại Việt Nam và quốc tế. <br data-v-3f34e5e0> ScholarHub KHÔNG đăng thông tin tổng hợp, KHÔNG đăng lại nội dung từ các trang báo chí Việt Nam hoặc trang thông tin điện tử khác tại Việt Nam. </p><div class="el-row" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><div class="el-col el-col-24 el-col-xs-24 el-col-sm-24 el-col-md-12 el-col-lg-12 link-container" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><h4 data-v-3f34e5e0>Thông tin, cập nhật</h4><p data-v-3f34e5e0><a href="https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScPJI8r9B2cFAOO-00E0cAsU1cVnZ1_pk3YaXn5c21vgNrdfQ/viewform?usp=sf_link" target="_blank" data-v-3f34e5e0> Đăng ký Tạp chí tham gia vào Scholar Hub </a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="https://forms.gle/bWrbmfR549VNF1UP7" target="_blank" data-v-3f34e5e0>Phản hồi ý kiến về Scholar Hub</a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="/post/browse" class="" data-v-3f34e5e0>Bài viết, nội dung cập nhật</a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="/topic/browse" class="" data-v-3f34e5e0>Chủ đề khoa học</a></p><!--]--></div><div class="el-col el-col-24 el-col-xs-24 el-col-sm-24 el-col-md-12 el-col-lg-12" style="" data-v-3f34e5e0><!--[--><h4 data-v-3f34e5e0>Website liên kết</h4><p data-v-3f34e5e0><a href="https://scibase.metis.vn" target="_blank" rel="nofollow" data-v-3f34e5e0>Hệ thống CSDL Khoa học &amp; Công nghệ</a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="https://kiemtratailieu.vn" target="_blank" rel="nofollow" data-v-3f34e5e0>Phần mềm kiểm tra trùng lặp Kiểm Tra Tài Liệu</a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="https://vojs.vn" target="_blank" rel="nofollow" data-v-3f34e5e0>Phần mềm xuất bản tạp chí điện tử VOJS</a></p><p data-v-3f34e5e0><a href="https://letqa.vn" target="_blank" rel="nofollow" data-v-3f34e5e0>Nền tảng trắc nghiệm và đề thi đa lĩnh vực LetQA</a></p><!--]--></div><!--]--></div><!--]--></div><!--]--></div><br data-v-3f34e5e0><div class="flex-center" data-v-3f34e5e0><p data-v-3f34e5e0>Copyright © 2023 ScholarHub - Scholar Hub. All rights reserved</p></div><!--]--></div><!--]--></div></div></div></div><div id="teleports"></div><script type="application/json" data-nuxt-data="nuxt-app" data-ssr="true" id="__NUXT_DATA__">[["ShallowReactive",1],{"data":2,"state":500,"once":504,"_errors":505,"serverRendered":24,"path":507,"pinia":508},["ShallowReactive",3],{"_public_field_all":4,"_public_topic_byId_không gian triebel lizorkin morrey":307},{"code":5,"data":6,"meta":22},"SUCCESS",{"PUBLICATION_PUBLISHER_RELATIONSHIP":7,"RESEARCHER":53,"PUBLISHER":129,"AFFILIATION":193,"PUBLICATION":234},[8,25,35,44],{"id":9,"createTime":10,"updateTime":11,"relativeEntities":12,"label":13,"description":17,"key":18,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":21,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"d35c4f7a-7254-4881-951f-70da6776ce4f","2023-04-07T03:33:33.965+00:00","2023-11-30T09:23:47.779+00:00",[],{"VI":14,"VOID":15,"EN":16},"Tập","","Volume",{},"volume",false,"SHORT_TEXT","PUBLICATION_PUBLISHER_RELATIONSHIP",null,0,true,{"id":26,"createTime":27,"updateTime":28,"relativeEntities":29,"label":30,"description":33,"key":34,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":21,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"338e4a77-7b66-49d9-a2de-c8ccec5be6a6","2023-04-07T03:33:41.683+00:00","2023-11-30T10:15:29.344+00:00",[],{"VI":31,"VOID":15,"EN":32},"Số","Issue",{},"issue",{"id":36,"createTime":37,"updateTime":37,"relativeEntities":38,"label":39,"description":42,"key":43,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":21,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":24,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"db4aebea-8cd7-4a35-9ce8-3f62cf46f080","2023-04-07T03:33:50.224+00:00",[],{"VI":40,"EN":41},"Tiêu đề","Title",{},"title",{"id":45,"createTime":46,"updateTime":46,"relativeEntities":47,"label":48,"description":51,"key":52,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":21,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"77801a77-6bb3-4ddb-9b7a-2e8a9f93cdd6","2023-04-07T03:34:01.989+00:00",[],{"VI":49,"VOID":15,"EN":50},"Số trang","Page numbers",{},"pages",[54,65,74,83,92,101,110,120],{"id":55,"createTime":56,"updateTime":57,"relativeEntities":58,"label":59,"description":62,"key":43,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":24,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"e7cf0196-4077-4620-af72-b6ecc83a9208","2023-04-07T03:12:06.973+00:00","2023-11-15T09:30:40.980+00:00",[],{"VI":60,"VOID":15,"EN":61},"Tên đầy đủ","Full name",{},"MEDIUM_TEXT","RESEARCHER",{"id":66,"createTime":67,"updateTime":67,"relativeEntities":68,"label":69,"description":72,"key":73,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"db84a947-fe5b-4e6f-af20-751c086ea4ec","2023-04-07T03:24:38.229+00:00",[],{"VI":70,"EN":71},"Lý lịch","Bio",{},"bio",{"id":75,"createTime":76,"updateTime":76,"relativeEntities":77,"label":78,"description":81,"key":82,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"ea9fc95f-2604-46c3-a44a-6c3e08cd1ee3","2023-04-07T03:25:25.457+00:00",[],{"VI":79,"EN":80},"Tên đệm và tên","Firstname",{},"firstname",{"id":84,"createTime":85,"updateTime":85,"relativeEntities":86,"label":87,"description":90,"key":91,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"0f79f1ff-f53d-48cb-8cdf-4a83cfed3658","2023-04-07T03:25:37.951+00:00",[],{"VI":88,"EN":89},"Họ","Lastname",{},"lastname",{"id":93,"createTime":94,"updateTime":94,"relativeEntities":95,"label":96,"description":99,"key":100,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"acb4440e-c9d6-4e0e-9c7e-f5b9cbcbd90b","2023-04-07T03:25:47.142+00:00",[],{"VI":97,"EN":98},"Tên công khai ưa thích","Prefername",{},"publicname",{"id":102,"createTime":103,"updateTime":103,"relativeEntities":104,"label":105,"description":108,"key":109,"multiLanguage":24,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"f0cb89ed-b145-4157-a0a8-7db8fa2eee4e","2023-04-07T03:25:59.372+00:00",[],{"VI":106,"EN":107},"Học hàm học vị","Degress",{},"degree",{"id":111,"createTime":112,"updateTime":113,"relativeEntities":114,"label":115,"description":117,"key":118,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":119,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"a443adf9-db93-4412-8325-a17ef7a87280","2023-04-07T03:26:08.387+00:00","2023-11-15T10:40:15.772+00:00",[],{"VI":116,"VOID":15,"EN":116},"ORC ID",{},"orcid","CONTAIN",{"id":121,"createTime":122,"updateTime":123,"relativeEntities":124,"label":125,"description":127,"key":128,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":64,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":119,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"8c8018f7-488b-4134-a69d-56e7bb27da27","2023-04-07T03:26:19.073+00:00","2023-07-19T08:29:01.454+00:00",[],{"VI":126,"VOID":15,"EN":126},"Google Scholar",{},"gsAuthor",[130,138,149,159,169,182],{"id":131,"createTime":132,"updateTime":133,"relativeEntities":134,"label":135,"description":22,"key":43,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":136,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":24,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":137,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"29d30064-6f08-4370-9f2e-c01ab5903ea3","2023-04-07T03:31:54.913+00:00","2024-04-22T04:37:36.109+00:00",[],{"VI":40,"EN":40},"PUBLISHER","NONE",{"id":139,"createTime":140,"updateTime":141,"relativeEntities":142,"label":143,"description":22,"key":146,"multiLanguage":24,"valueType":147,"entityType":136,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":148,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":137,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"4066a4ae-ab2d-4e7d-ad17-e17ffd272ead","2023-04-07T03:32:21.464+00:00","2024-05-30T08:27:37.904+00:00",[],{"VI":144,"VOID":15,"EN":145},"Giới thiệu","Introducce","introduce","HTML",1,{"id":150,"createTime":151,"updateTime":152,"relativeEntities":153,"label":154,"description":22,"key":156,"multiLanguage":19,"valueType":155,"entityType":136,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":157,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":158,"filter":137,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"f9bbe7e2-9222-4af1-8009-a9fbd09b5028","2023-04-07T03:32:13.167+00:00","2025-01-14T07:21:19.986+00:00",[],{"VI":155,"VOID":15,"EN":15},"ISSN","issn",2,[],{"id":160,"createTime":161,"updateTime":162,"relativeEntities":163,"label":164,"description":22,"key":166,"multiLanguage":19,"valueType":155,"entityType":136,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":167,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":168,"filter":137,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"35115f25-a17e-486e-adb4-6ee3a2dfdd9e","2023-04-19T02:25:49.767+00:00","2025-01-14T07:21:25.822+00:00",[],{"VI":165,"VOID":15,"EN":165},"E-ISSN","eissn",3,[],{"id":170,"createTime":171,"updateTime":172,"relativeEntities":173,"label":174,"description":177,"key":178,"multiLanguage":19,"valueType":179,"entityType":136,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":180,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":181,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"234bea28-9a35-4c2c-b198-effffba9f1cd","2023-06-02T02:48:01.849+00:00","2023-11-15T09:52:32.917+00:00",[],{"VI":175,"VOID":15,"EN":176},"Quốc gia","Country",{},"country","COUNTRY",4,"EQUAL",{"id":183,"createTime":184,"updateTime":185,"relativeEntities":186,"label":187,"description":22,"key":189,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":136,"publicationTypes":190,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":191,"showInList":24,"multiValue":19,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":192,"filter":181,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"e3851e98-8aee-4f93-9bc3-7c4632ffbe1b","2025-07-10T06:51:41.397+00:00","2025-07-10T08:43:10.427+00:00",[],{"VI":188,"EN":188,"VOID":15},"Google Scholar ID","gsId",[],99,[],[194,201,210,221,227],{"id":195,"createTime":196,"updateTime":197,"relativeEntities":198,"label":199,"description":22,"key":43,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":200,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":24,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":137,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"5d6b3221-4d6c-452f-8819-d7babef231d8","2023-04-07T03:34:16.000+00:00","2024-05-15T09:37:33.678+00:00",[],{"VI":40,"VOID":15,"EN":41},"AFFILIATION",{"id":202,"createTime":203,"updateTime":197,"relativeEntities":204,"label":205,"description":22,"key":208,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":200,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":148,"showInList":24,"multiValue":19,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":209,"filter":119,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"cec1ee32-273e-4133-be9c-b5e8033573af","2023-08-16T04:02:59.037+00:00",[],{"VI":206,"VOID":15,"EN":207},"Tên viết tắt","Abbreviation","abbreviation",[],{"id":211,"createTime":212,"updateTime":213,"relativeEntities":214,"label":215,"description":22,"key":218,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":200,"publicationTypes":219,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":157,"showInList":24,"multiValue":19,"hidden":22,"defaultValue":15,"items":220,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"bfbd7ace-5e37-487b-83a5-aba302b34a03","2024-05-15T09:36:56.131+00:00","2024-05-15T09:37:33.679+00:00",[],{"VI":216,"VOID":15,"EN":217},"Địa chỉ","Address","address",[],[],{"id":222,"createTime":223,"updateTime":197,"relativeEntities":224,"label":225,"description":22,"key":178,"multiLanguage":19,"valueType":179,"entityType":200,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":167,"showInList":24,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":226,"filter":181,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"a6725ec3-b4bd-4027-badb-2cbb0c1bebf3","2023-07-07T09:56:26.032+00:00",[],{"VI":175,"VOID":15,"EN":176},[],{"id":228,"createTime":229,"updateTime":230,"relativeEntities":231,"label":232,"description":22,"key":146,"multiLanguage":24,"valueType":147,"entityType":200,"publicationTypes":22,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":180,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"76eac3b9-3012-40d8-b325-32dda4b82d1c","2023-04-07T03:34:21.749+00:00","2024-05-15T09:37:33.677+00:00",[],{"VI":144,"EN":233},"Introduce",[235,246,257,269,278,289,299],{"id":236,"createTime":237,"updateTime":238,"relativeEntities":239,"label":240,"description":241,"key":43,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":242,"publicationTypes":243,"validateRegex":22,"required":24,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"f1b3a791-381b-4cde-b59e-29e86b3905f0","2023-04-07T03:26:31.392+00:00","2023-11-13T04:08:13.935+00:00",[],{"VI":40,"EN":41},{},"PUBLICATION",[244,245],"ARTICLE","BOOK",{"id":247,"createTime":248,"updateTime":249,"relativeEntities":250,"label":251,"description":254,"key":255,"multiLanguage":24,"valueType":147,"entityType":242,"publicationTypes":256,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"9863256c-bc7a-4b01-af09-fc497a3ef2ec","2023-04-07T03:28:00.979+00:00","2023-04-07T03:29:58.304+00:00",[],{"VI":252,"EN":253},"Tóm tắt","Abstract",{},"abstract",[244,245],{"id":258,"createTime":259,"updateTime":260,"relativeEntities":261,"label":262,"description":265,"key":266,"multiLanguage":19,"valueType":267,"entityType":242,"publicationTypes":268,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"d53c0929-2459-4c63-aeb4-fa42177d8289","2023-04-07T03:28:09.780+00:00","2023-04-07T03:30:26.107+00:00",[],{"VI":263,"EN":264},"Tài liệu tham khảo","References",{},"references","LONG_TEXT",[244,245],{"id":270,"createTime":271,"updateTime":272,"relativeEntities":273,"label":274,"description":22,"key":276,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":242,"publicationTypes":277,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":181,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"3ef74053-2571-436e-999f-4bb28b39bb10","2023-04-07T03:28:18.390+00:00","2024-04-22T07:32:52.023+00:00",[],{"VI":275,"VOID":15,"EN":275},"DOI","doi",[244,245],{"id":279,"createTime":280,"updateTime":281,"relativeEntities":282,"label":283,"description":286,"key":287,"multiLanguage":24,"valueType":63,"entityType":242,"publicationTypes":288,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"5ab84f16-5b49-48ce-882e-79d6f02148fa","2023-04-07T03:28:37.409+00:00","2023-11-15T10:39:58.124+00:00",[],{"VI":284,"VOID":15,"EN":285},"Từ khóa","Keywords",{},"keywords",[244,245],{"id":290,"createTime":291,"updateTime":292,"relativeEntities":293,"label":294,"description":296,"key":297,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":242,"publicationTypes":298,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":22,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":24},"4419b84c-9015-446c-8fb3-d7278785f268","2023-04-07T03:28:45.113+00:00","2023-11-15T10:39:52.077+00:00",[],{"VI":295,"EN":295},"ISBN",{},"isbn",[244,245],{"id":300,"createTime":301,"updateTime":302,"relativeEntities":303,"label":304,"description":22,"key":305,"multiLanguage":19,"valueType":20,"entityType":242,"publicationTypes":306,"validateRegex":22,"required":19,"sortIndex":23,"showInList":22,"multiValue":22,"hidden":22,"defaultValue":22,"items":22,"filter":181,"extraConfig":22,"facet":19,"searchable":19},"aadb7bfb-1210-4042-be63-48799a3e1dd0","2023-04-20T04:06:06.285+00:00","2024-04-10T02:43:42.303+00:00",[],{"VI":188,"VOID":15,"EN":188},"gsPaper",[244,245],{"code":5,"data":308,"meta":22},{"id":309,"title":310,"slug":22,"description":311,"content":312,"createUser":313,"publishUser":316,"keywords":320,"keywordCount":148,"enrichTopicLink":19,"status":321,"createTime":322,"updateTime":323,"publishTime":324,"viewCount":325,"relateTopics":326,"publications":357},"không gian triebel lizorkin morrey","Không gian triebel lizorkin morrey là gì? Các nghiên cứu","Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey là lớp không gian hàm mở rộng từ không gian Triebel–Lizorkin bằng cách thêm điều kiện kiểm soát theo chuẩn Morrey cục bộ. Nó cho phép mô tả tính trơn và phân bố năng lượng của hàm một cách linh hoạt, phù hợp với các bài toán đạo hàm riêng và môi trường không đều. ","\u003Cdiv>\u003Ch2>Định nghĩa không gian Triebel–Lizorkin–Morrey\u003C/h2>\n\u003Cp>Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey ký hiệu thường là \u003Cscript type=\"math/tex\">E^{s}_{u,p,q}(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> hoặc tương đương, là không gian hàm bao gồm các phân phối hoặc hàm có trơn theo chỉ số \u003Cscript type=\"math/tex\">s\\in\\mathbb{R}\u003C/script>, với các tham số \u003Cscript type=\"math/tex\">0\u003Cp\\le u\u003C\\infty\u003C/script>, \u003Cscript type=\"math/tex\">0\u003Cq\\le\\infty\u003C/script>. Đặc trưng của không gian này là sự kết hợp giữa điều kiện trơn (smoothness) và kiểm soát phân bố năng lượng của hàm qua không gian Morrey để xem xét tính cục bộ và toàn cục.\u003C/p>\n\u003Cp>Hàm \u003Cscript type=\"math/tex\">f\u003C/script> nằm trong \u003Cscript type=\"math/tex\">E^{s}_{u,p,q}(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> nếu chuẩn sau đây hữu hạn:\u003C/p>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math/tex\">\\|f\\|_{E^{s}_{u,p,q}} = \\|\\phi_0(D)f\\|_{M^p_u} + \\left\\| \\left( \\sum_{j=1}^\\infty 2^{jsq} |\\phi_j(D)f(x)|^q \\right)^{1/q} \\right\\|_{M^p_u} \u003C \\infty\u003C/script>\u003C/p>\n\u003Cp>Trong đó \u003Cscript type=\"math/tex\">M^p_u\u003C/script> là không gian Morrey, \u003Cscript type=\"math/tex\">\\phi_j(D)\u003C/script> là toán tử lọc tần số cao qua phân hoạch đơn vị (Littlewood–Paley decomposition). Cách định nghĩa này được khảo sát kỹ trong các bài báo như của Hakim, Nogayama &amp; Sawano (2017) về nội hàm phức của các subspaces của Morrey trơn. :contentReference[oaicite:0]{index=0}\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Các không gian liên quan: Sobolev, Triebel–Lizorkin cổ điển, Morrey\u003C/h2>\n\u003Cp>Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey mở rộng các không gian truyền thống như Sobolev \u003Cscript type=\"math/tex\">W^{s,p}(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> và Triebel–Lizorkin cổ điển \u003Cscript type=\"math/tex\">F^{s}_{p,q}(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> bằng cách thay \u003Cscript type=\"math/tex\">L^p\u003C/script> hoặc \u003Cscript type=\"math/tex\">L^p\\!\\!-\\!\\!L^q\u003C/script> bằng không gian Morrey \u003Cscript type=\"math/tex\">M^p_u\u003C/script> để kiểm soát phân bố hàm theo vùng địa phương.\u003C/p>\n\u003Cp>Không gian Morrey \u003Cscript type=\"math/tex\">M^p_u(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> định nghĩa qua chuẩn:\u003C/p>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math/tex\">\\|f\\|_{M^p_u} := \\sup_{x\\in\\mathbb{R}^n,\\,r>0} r^{-n\\left(\\frac1p - \\frac1u\\right)} \\left( \\int_{B(x,r)} |f(y)|^p \\, dy \\right)^{1/p} \u003C \\infty\u003C/script>\u003C/p>\n\u003Cp>Bảng so sánh đặc điểm giữa các không gian:\u003C/p>\n\u003Ctable border=\"1\" cellpadding=\"6\" cellspacing=\"0\">\n \u003Ctbody>\u003Ctr>\n \u003Cth>Không gian\u003C/th>\n \u003Cth>Trơn (smoothness)\u003C/th>\n \u003Cth>Kiểm soát cục bộ\u003C/th>\n \u003Cth>Ứng dụng điển hình\u003C/th>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Sobolev \u003Cscript type=\"math/tex\">W^{s,p}\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Bằng chỉ số \u003Cscript type=\"math/tex\">s\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Không có điều kiện Morrey\u003C/td>\n \u003Ctd>Phương trình PDE với hệ số liên tục, biên có điều kiện tốt\u003C/td>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Triebel–Lizorkin \u003Cscript type=\"math/tex\">F^s_{p,q}\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Trơn thực phân, đo bằng phân rã tần số\u003C/td>\n \u003Ctd>Có qua \u003Cscript type=\"math/tex\">L^p\u003C/script>, kiểm soát toàn cục qua Lebesgue\u003C/td>\n \u003Ctd>Phân tích fourier, xấp xỉ hàm, biến đổi phi tuyến\u003C/td>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Morrey \u003Cscript type=\"math/tex\">M^p_u\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Không có chỉ số trơn\u003Cbr>(hoặc trơn = 0)\u003C/td>\n \u003Ctd>Kiểm soát cục bộ theo bán kính bóng\u003C/td>\n \u003Ctd>Ứng dụng trong lý thuyết hàm có điểm không đều, PDE có hệ số phân bố mạnh\u003C/td>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Triebel–Lizorkin–Morrey \u003Cscript type=\"math/tex\">E^s_{u,p,q}\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Chỉ số \u003Cscript type=\"math/tex\">s\u003C/script>\u003C/td>\n \u003Ctd>Kiểm soát Morrey + phân rã tần số\u003C/td>\n \u003Ctd>PDE phi tuyến trong môi trường không đều, phân tích hàm vùng biên, hình dạng fractal\u003C/td>\n \u003C/tr>\n\u003C/tbody>\u003C/table>\n\n\u003Ch2>Định nghĩa thông qua hệ phân hoạch đơn vị &amp; đặc trưng Littlewood–Paley\u003C/h2>\n\u003Cp>Để xây dựng chuẩn cho \u003Cscript type=\"math/tex\">E^s_{u,p,q}\\!\u003C/script> cần chọn một hệ hàm lọc \u003Cscript type=\"math/tex\">\\{\\phi_j\\}_{j=0}^\\infty\u003C/script> sao cho hỗ trợ tần số được chia đều theo cấp độ dyadic, nghĩa là mỗi \u003Cscript type=\"math/tex\">\\phi_j\\!\u003C/script> tập trung vào dải tần khoảng \u003Cscript type=\"math/tex\">2^j \\le |\\xi| \u003C 2^{j+1}\u003C/script>.\u003C/p>\n\u003Cp>Biến đổi Fourier được sử dụng để định nghĩa \u003Cscript type=\"math/tex\">\\phi_j(D)f = \\mathcal{F}^{-1}(\\phi_j \\cdot \\mathcal{F}(f))\u003C/script> với \u003Cscript type=\"math/tex\">\\mathcal{F}\u003C/script> là biến đổi Fourier. Norm được định nghĩa như sau:\u003C/p>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math/tex\">\\|f\\|_{E^{s}_{u,p,q}} = \\|\\phi_0(D)f\\|_{M^p_u} + \\left\\| \\left( \\sum_{j=1}^\\infty 2^{jsq} |\\phi_j(D)f(\\cdot)|^q \\right)^{1/q} \\right\\|_{M^p_u} \\end{script}\u003C/p>\n\u003Cp>Chuẩn này độc lập (trong nhiều trường hợp) với sự chọn lựa chi tiết của hàm lọc, miễn là hệ phân hoạch đáp ứng điều kiện cơ bản về hỗ trợ (support) và tính “partition of unity” trong miền tần số. Trên miền toàn ℝⁿ, định nghĩa này được sử dụng rộng rãi trong các bài viết như “Complex interpolation of smoothness Morrey spaces” của Hakim, Nogayama & Sawano. :contentReference[oaicite:1]{index=1}\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Ánh xạ và tính chất nhúng cơ bản\u003C/h2>\n\u003Cp>Ánh xạ nhúng (embedding) giữa các không gian Triebel–Lizorkin–Morrey giúp xác định khi nào hàm trong \u003Cscript type=\"math/tex\">E^{s}_{u,p,q}\u003C/script> cũng nằm trong không gian “ít trơn hơn” hoặc trong không gian Lebesgue/Morrey thông thường. Ví dụ, nếu \u003Cscript type=\"math/tex\">s > n\\left(\\frac1p - \\frac1r\\right)\u003C/script> và \u003Cscript type=\"math/tex\">r \u003C u\u003C/script>, thì có ánh xạ nhúng:\u003C/p>\n\u003Cul>\n \u003Cli>\u003Cscript type=\"math/tex\">E^{s}_{u,p,q}(\\mathbb{R}^n) \\hookrightarrow M^r_u(\\mathbb{R}^n)\u003C/script>\u003C/li>\n \u003Cli>\u003Cscript type=\"math/tex\">E^{s}_{u,p,q}(\\mathbb{R}^n) \\hookrightarrow L^r(\\mathbb{R}^n)\u003C/script> nếu \u003Cscript type=\"math/tex\">u = r\u003C/script>\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>Tính chất nhúng Sobolev‑Morrey, Besov‑Morrey cũng được dùng để so sánh và tính các bất đẳng thức chuẩn hóa trong phân tích hàm. Những định lý nhúng này xuất hiện trong các bài báo chuyên ngành như của Sawano &amp; Tanaka. :contentReference[oaicite:2]{index=2}\u003C/p>\n\u003Ch2>Ứng dụng trong phân tích đạo hàm riêng và bài toán biên\u003C/h2>\n\u003Cp>Không gian Triebel–Lizorkin–Morrey đặc biệt hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc có điều kiện biên không trơn. Việc sử dụng không gian này cho phép mô tả chính xác mức độ trơn và tính cục bộ của nghiệm trong trường hợp dữ liệu ban đầu không nằm trong không gian Lebesgue truyền thống.\u003C/p>\n\u003Cp>Các ứng dụng chính bao gồm:\u003C/p>\n\u003Cul>\n \u003Cli>Phân tích tồn tại và trơn hóa nghiệm yếu cho phương trình Navier–Stokes trong môi trường có dữ liệu khuyết tật địa phương\u003C/li>\n \u003Cli>Phương trình Schrödinger phi tuyến với điều kiện ban đầu không trơn\u003C/li>\n \u003Cli>Giải các hệ PDE suy biến hoặc phi tuyến bậc cao\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>Trong các bài toán biên với dữ liệu nằm trên fractal hoặc miền không đều, các định lý nhúng cổ điển không áp dụng được, trong khi không gian Triebel–Lizorkin–Morrey vẫn cho phép kiểm soát đạo hàm một cách tinh vi, nhờ vào tính chất phân rã tần số kết hợp với kiểm soát cục bộ.\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Biểu diễn qua sóng nhỏ (Wavelet representation)\u003C/h2>\n\u003Cp>Do có nền tảng từ phân rã Littlewood–Paley, các không gian Triebel–Lizorkin–Morrey có thể được biểu diễn qua hệ sóng nhỏ (wavelet basis) một cách chính xác. Biểu diễn này không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có giá trị thực tế trong tính toán số và xử lý tín hiệu.\u003C/p>\n\u003Cp>Một hàm \u003Cscript type=\"math/tex\">f \\in E^s_{u,p,q}\u003C/script> có thể biểu diễn như sau:\u003C/p>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math/tex\">\nf(x) = \\sum_{\\lambda} c_\\lambda \\psi_\\lambda(x)\n\u003C/script>\u003C/p>\n\u003Cp>Trong đó \u003Cscript type=\"math/tex\">\\psi_\\lambda\u003C/script> là các sóng nhỏ chính quy, \u003Cscript type=\"math/tex\">c_\\lambda\u003C/script> là hệ số tương ứng với mức tần số và vị trí, và chuẩn \u003Cscript type=\"math/tex\">\\|f\\|_{E^s_{u,p,q}}\u003C/script> được đánh giá qua sự phân rã của các hệ số \u003Cscript type=\"math/tex\">c_\\lambda\u003C/script> trong không gian Morrey.\u003C/p>\n\u003Cp>Theo Meyer (1992), hệ sóng nhỏ như Daubechies hoặc spline orthogonal có thể được dùng để xây dựng cơ sở đầy đủ cho các không gian này. Tham khảo chi tiết tại \u003Ca href=\"https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0649-3\" target=\"_blank\">Wavelets and Operators – Springer\u003C/a>.\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Biến thể và mở rộng\u003C/h2>\n\u003Cp>Gần đây, một số nghiên cứu đã mở rộng không gian Triebel–Lizorkin–Morrey sang các thiết lập tổng quát hơn như:\u003C/p>\n\u003Cul>\n \u003Cli>\u003Cb>Không gian biến thiên số mũ (variable exponent):\u003C/b> \u003Cscript type=\"math/tex\">E^s_{p(\\cdot),q,u(\\cdot)}\u003C/script> cho phép tham số thay đổi theo vị trí\u003C/li>\n \u003Cli>\u003Cb>Không gian dạng Campanato tổng quát:\u003C/b> mở rộng tính cục bộ cao hơn Morrey\u003C/li>\n \u003Cli>\u003Cb>Không gian trên đa tạp (manifold) hoặc không gian đo không đều:\u003C/b> sử dụng khái niệm metric measure space và kernel tích phân\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>Đặc biệt, lớp không gian Hardy–Morrey được phát triển để nghiên cứu các PDE loại elliptic trong môi trường phân bố năng lượng bất thường. Những phát triển này góp phần mở rộng phạm vi ứng dụng ra ngoài miền Euclid cổ điển.\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Tính toán số và xử lý tín hiệu\u003C/h2>\n\u003Cp>Trong kỹ thuật số, đặc biệt là xử lý ảnh và biểu diễn dữ liệu nén, các cơ sở wavelet có tính chất tương thích với không gian Triebel–Lizorkin–Morrey được áp dụng để tạo ra các thuật toán tái thiết và nén giữ tính cục bộ cao, như trong các hệ thống nén fractal hoặc các mô hình mô phỏng đa tỉ lệ.\u003C/p>\n\u003Cp>Ưu điểm bao gồm:\u003C/p>\n\u003Cul>\n \u003Cli>Đại diện dữ liệu theo cấp độ chi tiết\u003C/li>\n \u003Cli>Phân tích đa tỉ lệ với kiểm soát năng lượng cục bộ\u003C/li>\n \u003Cli>Hạn chế nhiễu cao tần tốt hơn so với dùng Fourier hoặc spline cổ điển\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>Một số ứng dụng tiêu biểu:\u003C/p>\n\u003Ctable border=\"1\" cellpadding=\"6\" cellspacing=\"0\">\n \u003Ctbody>\u003Ctr>\n \u003Cth>Lĩnh vực\u003C/th>\n \u003Cth>Ứng dụng\u003C/th>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Xử lý ảnh\u003C/td>\n \u003Ctd>Nén ảnh JPEG2000, tăng cường biên, lọc noise cục bộ\u003C/td>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Mô phỏng số\u003C/td>\n \u003Ctd>Phân tích đa tỉ lệ FEM, phương pháp Galerkin phi tuyến\u003C/td>\n \u003C/tr>\n \u003Ctr>\n \u003Ctd>Trí tuệ nhân tạo\u003C/td>\n \u003Ctd>Biểu diễn đặc trưng học sâu cho dữ liệu không đều\u003C/td>\n \u003C/tr>\n\u003C/tbody>\u003C/table>\n\n\u003Ch2>Hạn chế và hướng nghiên cứu hiện tại\u003C/h2>\n\u003Cp>Mặc dù mạnh mẽ, không gian Triebel–Lizorkin–Morrey vẫn gặp một số khó khăn:\u003C/p>\n\u003Cul>\n \u003Cli>Chuẩn phức tạp, khó đánh giá số nếu không có biểu diễn sóng nhỏ\u003C/li>\n \u003Cli>Phụ thuộc vào hệ phân hoạch tần số, gây khó khăn khi chuyển sang miền biên cong hoặc fractal\u003C/li>\n \u003Cli>Chưa có lý thuyết đầy đủ cho mọi không gian tổng quát (ví dụ: biến thiên tham số theo vị trí, hoặc tích phân kernel phi chuẩn)\u003C/li>\n\u003C/ul>\n\u003Cp>Nghiên cứu hiện tại tập trung vào việc xây dựng các ánh xạ tuyến tính, toán tử đa tuyến trong không gian này, cũng như cải tiến kỹ thuật xấp xỉ và học máy trong các lĩnh vực vật lý toán, cơ học tính toán và xử lý dữ liệu phi cấu trúc.\u003C/p>\n\n\u003Ch2>Tài liệu tham khảo\u003C/h2>\n\u003Col>\n \u003Cli>Yamazaki, M. (1994). A quasi-homogeneous version of Triebel–Lizorkin spaces. \u003Ci>Functiones et Approximatio\u003C/i>, 22, 1–20.\u003C/li>\n \u003Cli>Haroske, D., &amp; Skrzypczak, L. (2014). Embeddings of function spaces: New developments. \u003Ci>Mathematische Nachrichten\u003C/i>, 287(13), 1518–1541.\u003C/li>\n \u003Cli>Triebel, H. (2006). \u003Ci>Theory of Function Spaces III\u003C/i>. Birkhäuser Basel. \u003Ca href=\"https://link.springer.com/book/10.1007/3-7643-6982-5\" target=\"_blank\">Springer Link\u003C/a>\u003C/li>\n \u003Cli>Nakai, E., &amp; Sawano, Y. (2012). Hardy spaces with variable exponents and generalized Campanato spaces. \u003Ci>J. Funct. Anal.\u003C/i>, 262(9), 3665–3748.\u003C/li>\n \u003Cli>Hakim, D., Nogayama, Y., &amp; Sawano, Y. (2017). Complex interpolation of smoothness Morrey spaces. \u003Ca href=\"https://www.math.okayama-u.ac.jp/mjou/mjou61/_06_Sawano.pdf\" target=\"_blank\">Okayama University\u003C/a>\u003C/li>\n \u003Cli>Meyer, Y. (1992). \u003Ci>Wavelets and Operators\u003C/i>. Cambridge University Press. \u003Ca href=\"https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-0649-3\" target=\"_blank\">Springer\u003C/a>\u003C/li>\n \u003Cli>Sawano, Y., Tanaka, H. (2012). A note on Besov–Morrey and Triebel–Lizorkin–Morrey spaces. \u003Ca href=\"https://www.researchgate.net/publication/225366489_A_note_on_Besov-Morrey_and_Triebel-Lizorkin-Morrey_spaces\" target=\"_blank\">ResearchGate\u003C/a>\u003C/li>\n\u003C/ol>\n\u003C/div>",{"id":148,"researcherId":22,"name":314,"imageUrl":315},"Nguyễn Ngọc Sơn","https://lh3.googleusercontent.com/a/ACg8ocLGfGsF1nYQqYK5BasTLhNu1dBrBXg2fcEgBNPXJ0p2gqLQnO7i=s96-c",{"id":317,"researcherId":22,"name":318,"imageUrl":319},2633,"Hoài Đặng","https://lh3.googleusercontent.com/a/ACg8ocLVXVafUxrnnC_H60UeQdpLE3UgeKGCSesypz_6Vi59B-n9C41A=s96-c",[309],"PUBLISHED","2025-09-19T02:00:42.714+00:00","2025-09-22T02:41:16.408+00:00","2025-09-22T02:41:16.364+00:00",14,[327,330,333,336,339,342,345,348,351,354],{"id":328,"title":329},"điểm menke hyperbolic","Điểm menke hyperbolic là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":331,"title":332},"prematurity","Prematurity là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":334,"title":335},"u hắc tố ác tính","U hắc tố ác tính là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":337,"title":338},"đặc trưng nhiệt lý","Đặc trưng nhiệt lý là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":340,"title":341},"nang thân răng","Nang thân răng là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":343,"title":344},"vi phân raman","Vi phân raman là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":346,"title":347},"abernethy malformation","Abernethy malformation là gì? Nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":349,"title":350},"sự xâm nhập của tế bào miễn dịch","Sự xâm nhập của tế bào miễn dịch là gì? Các nghiên cứu",{"id":352,"title":353},"sản lượng trầm tích","Sản lượng trầm tích là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học",{"id":355,"title":356},"thiết bị schilling bunsen","Thiết bị schilling bunsen là gì? Các nghiên cứu khoa học",{"meta":358,"data":360},{"total":359},"1",[361],{"id":362,"createTime":363,"updateTime":363,"relativeEntities":364,"slug":365,"properties":366,"entityType":242,"verifyStatus":377,"verifyTime":22,"verifyNote":22,"syncStatus":377,"languages":378,"translateLanguages":22,"viewCount":23,"primaryUrl":380,"fullTextUrl":381,"authors":382,"publicationType":244,"publisherRelationship":404,"citationCount":22,"citationInfo":22,"publishDate":497,"publishYear":498,"citationAnalyzeStatus":377,"lastCitationAnalyze":22,"indexDatabases":22,"openAccess":22,"references":499,"isForceReanalyzing":19},"079b73f0-9541-43ed-bd30-b82ad902ebd9","2024-04-18T08:22:20.099+00:00",[],"KH%C3%94NG-GIAN-TRIEBEL-LIZORKIN-MORREY-LI%C3%8AN-K%E1%BA%BET-V%E1%BB%9AI-TO%C3%81N-T%E1%BB%AC-LI%C3%8AN-H%E1%BB%A2P-KH%C3%94NG-%C3%82M",{"keywords":367,"abstract":370,"title":373,"doi":375},{"EN":368,"VI":369},"atomic decompositions,continuous characterization,Gaussian upper bound,Triebel-Lizorkin-Morrey space","phân tích nguyên tử,đặc trưng liên tục,điều kiện bị chặn trên Gaussian,không gian Triebel-Lizorkin-Morrey",{"VI":371,"EN":372}," Xét L là một toán tử liên hợp không âm trên  sao cho nhân nhiệt của Lthỏa mãn điều kiện bị chặn trên Gaussian. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu không gian Triebel-Lizorkin-Morrey  liên kết với toán tử , trong đó . Chúng tôi chứng minh rằng các không gian mới này thỏa mãn các đặc trưng quan trọng như đặc trưng liên tục theo các hàm bình phương hoặc đặc trưng phân tích nguyên tử.  ","   Let L be a nonnegative self-adjoint operator on  with a heat kernel satisfying a Gaussian upper bound. In this work, we introduce Triebel-Lizorkin-Morrey spaces  associated with the operator L for the entire range . We then prove that our new spaces satisfy important features such as continuous characterizations in terms of square functions, or atomic decomposition.     ",{"EN":374},"KHÔNG GIAN TRIEBEL-LIZORKIN-MORREY LIÊN KẾT VỚI TOÁN TỬ LIÊN HỢP KHÔNG ÂM",{"VOID":376},"10.54607/hcmue.js.18.12.3300(2021)","PENDING",[379],"EN","https://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos/article/view/3300","https://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos/article/download/3300/2985",[383,390,397],{"id":384,"sortIndex":148,"researcher":22,"roles":385,"affiliations":386,"properties":387},"70f52f1b-ae23-41f0-b9ca-550f3cf919df",[],[],{"title":388},{"EN":389},"Nguyễn Ngọc Trọng",{"id":391,"sortIndex":157,"researcher":22,"roles":392,"affiliations":393,"properties":394},"123084aa-8e42-4063-bd24-98c380fddc4a",[],[],{"title":395},{"EN":396},"Nguyễn Hoàng Trúc",{"id":398,"sortIndex":23,"researcher":22,"roles":399,"affiliations":400,"properties":401},"216dbe1d-9dd6-4627-8e3f-92e1c847da03",[],[],{"title":402},{"EN":403},"Trần Trí Dũng",{"url":22,"publisher":405,"properties":490},{"id":406,"createTime":407,"updateTime":408,"relativeEntities":409,"slug":410,"properties":411,"entityType":136,"verifyStatus":421,"verifyTime":422,"verifyNote":22,"syncStatus":377,"languages":22,"translateLanguages":22,"viewCount":423,"subjectFields":424,"manageAffiliations":425,"indexDatabases":426,"url":427,"thumbnailPath":428,"statistic":429,"gsStatistic":457,"type":489,"analyzePriority":22},"95816e25-d6df-4e8c-a056-d45f89c468b8","2023-07-31T04:25:49.293+00:00","2025-09-19T01:54:54.071+00:00",[],"Ho-Chi-Minh-City-University-of-Education-Journal-of-Science",{"country":412,"issn":414,"title":416,"gsId":419},{"VOID":413},"VN",{"VOID":415},"27349918",{"EN":417,"VI":418},"Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science","Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh",{"VOID":420},"loX12OcAAAAJ","VERIFIED","2023-08-01T04:16:41.936+00:00",39,[],[],[],"https://journal.hcmue.edu.vn/index.php/hcmuejos","/api/public/file/publisher/95816e25-d6df-4e8c-a056-d45f89c468b8/6e8900aedf32211c4695c361331126c4.png",{"impactFactor":23,"impactFactorByYear":430,"i10Index":434,"i10IndexLast5Year":148,"totalPublication":435,"totalPublicationByYear":436,"totalCitation":443,"totalCitationByYear":444,"totalCitationPerPublication":450,"totalCitationPerPublicationByYear":451,"hindexLast5Year":456,"hindex":456},{"2020":431,"2021":432,"2022":433,"2023":432,"2024":431},0.03,0.04,0.02,13,3567,{"2019":437,"2020":438,"2021":439,"2022":440,"2023":441,"2024":442,"2025":191},2481,205,194,181,197,210,1302,{"2019":445,"2020":446,"2021":447,"2022":448,"2023":449},1195,51,33,16,7,0.37,{"2019":452,"2020":453,"2021":454,"2022":455,"2023":432},0.48,0.25,0.17,0.09,11,{"impactFactor":22,"impactFactorByYear":22,"i10Index":458,"i10IndexLast5Year":448,"totalPublication":459,"totalPublicationByYear":460,"totalCitation":466,"totalCitationByYear":467,"totalCitationPerPublication":477,"totalCitationPerPublicationByYear":478,"hindexLast5Year":488,"hindex":325},28,784,{"0":461,"2003":148,"2004":148,"2011":157,"2012":148,"2013":461,"2014":167,"2016":148,"2017":148,"2018":148,"2019":462,"2020":463,"2021":463,"2022":463,"2023":464,"2024":463,"2025":465},5,540,40,44,19,1975,{"2012":461,"2013":456,"2014":180,"2015":434,"2016":468,"2017":469,"2018":470,"2019":471,"2020":472,"2021":473,"2022":474,"2023":475,"2024":476,"2025":440},23,37,90,239,157,183,228,255,345,2.52,{"2012":461,"2013":479,"2014":480,"2016":468,"2017":469,"2018":470,"2019":481,"2020":482,"2021":483,"2022":484,"2023":485,"2024":486,"2025":487},2.2,1.33,0.44,3.92,4.57,5.7,5.8,8.62,9.53,12,"JOURNAL",{"volume":491,"pages":493,"issue":495},{"VOID":492},"18",{"VOID":494},"2111",{"VOID":496},"12","2021-12-17",2021,[],["Reactive",501],{"$slanguage":502},{"value":503},"VI",["Set"],["ShallowReactive",506],{"_public_field_all":22,"_public_topic_byId_không gian triebel lizorkin morrey":22},"/topic/kh%C3%B4ng%20gian%20triebel%20lizorkin%20morrey",["Reactive",509],{"field":510,"authentication":614,"saveItem":615},{"researcherFields":511,"publicationFields":536,"affiliationFields":558,"publisherFields":577,"seriesFields":599,"seriesPublisherRelationshipFields":600,"loadingState":613},[512,515,518,521,524,527,530,533],{"id":55,"key":43,"label":513,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":514,"valueType":63,"entityType":64,"required":24,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",59],[],{"id":66,"key":73,"label":516,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":517,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",69],[],{"id":75,"key":82,"label":519,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":520,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",78],[],{"id":84,"key":91,"label":522,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":523,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",87],[],{"id":93,"key":100,"label":525,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":526,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",96],[],{"id":102,"key":109,"label":528,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":529,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",105],[],{"id":111,"key":118,"label":531,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":532,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":23,"filter":119,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",115],[],{"id":121,"key":128,"label":534,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":535,"valueType":20,"entityType":64,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":23,"filter":119,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",125],[],[537,540,543,546,549,552,555],{"id":236,"key":43,"label":538,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":539,"valueType":63,"entityType":242,"required":24,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",240],["Reactive",243],{"id":247,"key":255,"label":541,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":542,"valueType":147,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",251],["Reactive",256],{"id":258,"key":266,"label":544,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":545,"valueType":267,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",262],["Reactive",268],{"id":270,"key":276,"label":547,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":548,"valueType":20,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":181,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",274],["Reactive",277],{"id":279,"key":287,"label":550,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":551,"valueType":63,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",283],["Reactive",288],{"id":290,"key":297,"label":553,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":554,"valueType":20,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",294],["Reactive",298],{"id":300,"key":305,"label":556,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":557,"valueType":20,"entityType":242,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":181,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",304],["Reactive",306],[559,562,566,570,574],{"id":195,"key":43,"label":560,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":561,"valueType":63,"entityType":200,"required":24,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":137,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",199],[],{"id":202,"key":208,"label":563,"multiLanguage":19,"multiValue":19,"publicationTypes":564,"valueType":20,"entityType":200,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":148,"filter":119,"items":565,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",205],[],["Reactive",209],{"id":211,"key":218,"label":567,"multiLanguage":24,"multiValue":19,"publicationTypes":568,"valueType":63,"entityType":200,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":157,"filter":22,"items":569,"defaultValue":15,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",215],["Reactive",219],["Reactive",220],{"id":222,"key":178,"label":571,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":572,"valueType":179,"entityType":200,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":167,"filter":181,"items":573,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",225],[],["Reactive",226],{"id":228,"key":146,"label":575,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":576,"valueType":147,"entityType":200,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":180,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",232],[],[578,581,584,588,592,595],{"id":131,"key":43,"label":579,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":580,"valueType":63,"entityType":136,"required":24,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":137,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",135],[],{"id":139,"key":146,"label":582,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":583,"valueType":147,"entityType":136,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":148,"filter":137,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",143],[],{"id":150,"key":156,"label":585,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":586,"valueType":155,"entityType":136,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":157,"filter":137,"items":587,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",154],[],["Reactive",158],{"id":160,"key":166,"label":589,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":590,"valueType":155,"entityType":136,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":167,"filter":137,"items":591,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":24},["Reactive",164],[],["Reactive",168],{"id":170,"key":178,"label":593,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":594,"valueType":179,"entityType":136,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":180,"filter":181,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",174],[],{"id":183,"key":189,"label":596,"multiLanguage":19,"multiValue":19,"publicationTypes":597,"valueType":20,"entityType":136,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":191,"filter":181,"items":598,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",187],["Reactive",190],["Reactive",192],[],[601,604,607,610],{"id":9,"key":18,"label":602,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":603,"valueType":20,"entityType":21,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",13],[],{"id":26,"key":34,"label":605,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":606,"valueType":20,"entityType":21,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":24,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",30],[],{"id":36,"key":43,"label":608,"multiLanguage":24,"multiValue":22,"publicationTypes":609,"valueType":20,"entityType":21,"required":24,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",39],[],{"id":45,"key":52,"label":611,"multiLanguage":19,"multiValue":22,"publicationTypes":612,"valueType":20,"entityType":21,"required":19,"identifier":-1,"validateRegex":22,"showInList":22,"sortIndex":23,"filter":22,"items":22,"defaultValue":22,"facet":19,"searchable":19},["Reactive",48],[],"DONE",{"user":22,"loadingState":377},{"saveItems":616},[]]$